[전자기학] 라플라스 방정식, 유일성 정리, 영상전하법

$$
\nabla^2 V = 0
$$
위의 식은 3차원이다. 꽤 복잡하니 1차원부터 생각해 보자. 
$$
\frac{d^2V}{dx^2} = 0 \to \frac{dV}{dx} = b\to V=mx+b
$$
그래프로 그리면 직선이 나온다. 두 가지 특징이 있는데 

1. 임의의 값은 그 주변 값의 평균으로 정의 가능 
2. 극 값이 없음. 

 

기하학적으로는 점과 점 사이의 최단 거리로 생각할 수도 있다. 비유하자면 고무줄을 팽팽히 당기는 상태이다. 즉 직선이다.

2차원도 생각해보자. 
$$
\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2} = 0
$$
그래프로 그리면 경계선 사이 면적이 나온다. 이 역시 특성은 1차원 때와 같다.

1. 임의의 값은 그 주변 값(원을 쓴다)의 평균으로 정의 가능 
2. 극값이 없음(Concave, Convex X). 

 

기하학적으로는 곡면을 둘러싸는 경계선 내부의 면적이 최소일 때를 생각해볼 수 있다. 이는 극 값이 없다는 말과 같은 말이다. 매끄러운 면적보다 오목하거나 볼록한 면적이 더 넓다. 이 역시 비유하자면 고무막을 팽팽히 당기는 상태와 같다.

(경계면 내부에 극 값이 없다. 즉 경계면에만 극 값이 존재)

3차원은 그래프를 통한 해석이 쉽지 않다. 그러므로 여기선 비유를 먼저 해야 한다. 

어떤 방이 있고 벽면의 온도 분포가 나타나있다. 이때 방 내부에서 급격한 온도 변화는 존재하지 않는다. 거꾸로 생각하면 이해가 쉬울 것 같다.

라플라스 방정식은 곧 전하 밀도가 0임을 의미한다. 지금 비유에서는 방 안에 어떠한 열원이 없는 것과 같다. 온도에 관여하는 요소는 벽면의 온도 밖에 없다. 방 내부에서 갑자기 열이 증가하거나 감소하는 영역이 존재할 수가 없는 것이다. 

하지만 이 비유는 엄밀함이 부족해 보이니 평균값을 끌고 와서 극값이 없음을 보이겠다. 

에타 -> R'

구 외부에 어떤 점전하가 있고 ,점전하가 구 표면에서 만드는 전위의 평균이 얼마인지를 구해보자. (이건 곧 벽면의 온도를 구한 것과 같다). 전위의 평균은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$
V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi R^2}\oint_{\text{sphere}} V\,da
$$
점전하와 표면 사이의 전위는 다음과 같다
$$
V = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}R'}
$$
cos 법칙을 적용하여 R'을 구한다.
$$
R'^2 = z^2 + R^2 - 2zR\cos\theta
$$
이를 V에 대입한다.
$$
\begin{aligned}
V_{\text{ave}}
&= \frac{1}{4\pi R^2}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}
\int \left[z^2 + R^2 - 2zR\cos\theta\right]^{-1/2}
R^2 \sin\theta \, d\theta\, d\phi \\
&= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{2zR}
\sqrt{z^2 + R^2 - 2zR\cos\theta}\Big|_{0}^{\pi} \\
&= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{2zR}
\big[(z+R)-(z-R)\big]
= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{z}
\end{aligned}
$$
구 표면에서 구한 전위의 평균이 구 중심에서의 전위와 같다.

이 결과가 말해주는 것이 무엇인가? 

경계 조건만으로 내부의 값은 정해지고, 이는 곧 경계면 내부가 균질함을 보인다. 달리 말하면 경계면의 값에 의해서만, 내부의 값이 결정된다. 결국 3차원에서도 두 가지 특성은 모두 성립함을 알 수 있다.

 

유일성 정리

 

그럼 이제 경계 조건만 알면 전위 분포를 쉽게 구할 수 있을까? 하지만, 만약 경계 하나에 여러 개의 전위 분포가 존재한다면 아무 의미가 없다.(해가 무수히 많은데 해를 구하는 게 의미가 있을까?) 그러므로 유일성을 증명할 필요가 있다.

제1 유일성 정리: 라플라스 방정식의 해 V의 값이 어떤 부피영역 V의 경계면 S에서 명시되면 그 영역 속에서의 해가 유일하게 결정된다. 

 

증명: 라플라스 방정식 해가 두 개라고 가정한다.

$\nabla^2V_{1} = 0$, $\nabla^2V_{2} = 0$ 임의로 설정한 두 해가 같다면, 이는 곧 하나의 해만 존재함을 보이는 것이나 마찬가지이다. $V_3 = V_{2} - V_{1}$ 이것도 라플라스 방정식의 해이다. (선형성 때문에  $\nabla^2 V_{3}=0$) 

경계면에서 V1과 V2의 값은 똑같다. (하지만 경계면에서만 같고, 전 영역에서 같은 게 아니므로 아직 두 전위가 같은지 알 수 없다.) 그러므로 V3는 경계면에서 항상 0이다. 

그런데 경계면의 값도 전부 0이고, 라플라스 방정식의 해라는 것은 곧 전 영역에서 0이라는 말과 같다. 경계면에서만 극 값이 나타나는데 극값이 모두 0이니까 최댓값, 최솟값이 모두 0이기 때문이다. 

결국 V3 = 0이다. 그러므로 V1=V2이고, 임의의 두 해 따위는 없다. 무조건 하나만 존재한다.

맥락 요약: 경계면에서 같은 두 해 -> 두 해의 차를 상정 -> 선형성, 걔도 라플라스의 해 -> 경계면에서 값 같으니 새로운 해의 경계면 값 = 0 + 라플라스 방정식 해라서 극 값은 전부 경계면에 있는데 경계면 값이 0이므로 극 값 0 -> 전 영역의 값 0 

제2 유일성 정리: 도체로 둘러싸여 있고, 전하밀도가 $\rho$인 부피영역 V에서는 개별 도체의 총전하량을 알면 전기장을 유일하게 결정할 수 있다.

 

증명: 이 정리 역시 제1 유일성 정리와 비슷하게 흘러간다. 개별 도체의 전하량이 주어졌을 때, 이걸 만족하는 전위 분포가 하나만 있길 바란다. (직관적으로는 당연히 하나만 있을 것 같지만 예외의 상황을 가정할 수 있다.)

하지만 우선 조건에 맞는 전기장이 둘 있다고 가정하자. 두 전기장의 적분꼴 가우스 법칙은 동일한 Q를 가진다. (이때 폐곡면은 개별 도체를 감싼다. 이 적분 값의 전체 합에서 Q가 같다는 의미)

두 전기장의 차를 E_3라 한다. 
$$\vec{E_{2}}-\vec{ E_{1}} = \vec{E_{3}}$$
두 전기장의 적분 값은 같았으므로, E_3의 적분 값은 0이다.($\oint_{S}​=\Sigma_{i} \oint_{S_{i}}$​​)
$$
\oint \vec{E_{3}} \cdot d\vec{s} = 0
$$
개별 도체들이 분포한 곳의 전위는 모두 $V_{3}$이다. 도체는 등전 위이므로 표면 전위 역시 모두 $V_{3}$이다. 즉 $V_{3}$는 각 도체 표면에서 일정하다. 이제 곱셈규칙을 적용해 보자. (증명을 위한 꼼수다.)
$$
\nabla \cdot (V_3 \vec{E}_3)
= V_3 (\nabla \cdot \vec{E}_3)
+ \vec{E}_3 \cdot (\nabla V_3)
= -(E_3)^2
$$
($E_{3} = -\nabla V_{3}$를 적용함, $V_3 (\nabla \cdot \vec{E}_3) =V_3 (\nabla \cdot  -\nabla V_{3}) = 0$, $\vec{E}_3 \cdot (\nabla V_3) = -(E_{3})^2$)

이제 위의 식을 V에 대해 적분하고 발산정리를 쓰면 다음의 결과를 얻을 수 있다.
$$
\int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (V_3 \vec{E}_3) \, d\tau = \oint_{\mathcal{S}} V_3 \vec{E}_3 \cdot d\vec{s} = - \int_{\mathcal{V}} (E_3)^2 \, d\tau
$$
$V_{3}$는 모든 도체 표면에서 일정하므로, 적분 식 밖으로 뺄 수 있다. 
$$
  V_3\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}_3 \cdot d\vec{s} = - \int_{\mathcal{V}} (E_3)^2 \, d\tau
$$
이때 $\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}_3 \cdot d\vec{s} = 0$이므로 $\int_{\mathcal{V}} (E_3)^2 \, d\tau = 0$이다. 결국 $E_{3}$는 0이 될 수밖에 없다. 이는 곧 $E_1 = E_2$일 수밖에 없음을 보인다. 

 

영상 전하법

 

그런데 이 유일성 정리가 도대체 왜 중요하냐? 영상 전하법이란 것을 사용할 때 전제 조건으로 사용된다. 

바닥에 접지와 연결된 도체 평판이 있고, 그 위에 점전하가 존재하는 상황을 가정해 보자. 이 경우 도체 평판에 유도되는 전하에 의해, 전위 분포를 간단히 구하기 매우 어렵다.

그래서 바닥면을 기준으로 점전하의 반대편에 전하가 있다고 가정한다. 이 전하가 영상 전하이고, 점전하와 부호는 반대, 크기는 동일하다. 이제 도체 평판은 없다고 생각한다. 

이때 유일성 정리가 전제로 깔려야 한다. 유일성 정리는 한 마디로, 경계조건을 만족하는 해는 유일하다는 정리이다. 여기서 도체 평판이 그 경계 조건이다.

도체 평판이 있는 경우와, 가상의 점전하가 위치한 경우의 경계 조건이 일치한다면 두 해는 어차피 같을 것임을 보장할 수 있으니 이를 확인해 보자. (푸아송 방정식도 동일해야 한다. 현재 관심 영역 $z>0$에서 푸아송 방정식은 $\nabla^2 V = -\frac{q}{\epsilon_0}\delta(\vec{r}-\vec{r}_q)$로 동일하다.)

 

도체 평판의 경우

1. z=0 일 때, V = 0이다.
2. $x^2+y^2+z^2 \gg d^2$(점전하로부터 매우 먼 거리) 일 때, V->0이다.

 

영상 전하의 경우는, 실제 전위를 구함으로써 쉽게 증명 가능하다.
$$
V(x,y,z)
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\left[
\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}
-\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}}
\right]
$$

영상 전하의 경우

1. 여전히 z=0일 때, V = 0이다. 
2. $x^2+y^2+z^2 \gg d^2$(점전하로부터 매우 먼 거리) 일 때, V->0이다.

 

경계 조건이 동일하다. 자칫 매우 복잡해질 수 있는 접지 도체 평판 문제를 영상법으로 간단히 풀어냈다. 여기서 주의할 점은 영상법을 적용해도 그 해는 동일하나, 실제 물리적인 상황이 동일하다고 보긴 힘들다는 점이다. 위의 전위는 $z \geq 0$일 때, 유의미한 값을 가진다. 경계면을 벗어난 순간, 영상법은 무의미 해진다.