[전자기학] 전위 (Electrical Potential)

David J. Griffiths의 Introduction to Electrodynamics 

의 맥락을 참고하였음.

 

두 번째 공리를 들고 오겠다.
$$
\nabla \times \vec{E} = 0
$$
회전에서 이미 언급했듯, 회전 = 0은 보존장임을 의미한다. 보존장은 경로 독립성을 가지는 장을 의미하기도 한다. 이는 곧 부정적분이 존재함을 나타낸다. 즉 전계를 적분하면, 어떤 경로로 적분하든 그 시작 점, 끝 점이 가장 중요하다는 것이다.

이는 매우 유용하게 사용될 수 있다. 벡터 값인 전계의 부정적분은 스칼라 값으로 치환될 수 있기 때문이다. 이러한 스칼라 값이 전위 V이다. 
$$
V(\vec{r}) \equiv - \int_{\mathcal{O}}^{r} \vec{E} \cdot d\vec{l}
$$
(적분 경로의 $\mathcal{O}$는 기준점의 위치이다. 여기서 기준점은 영전위를 의미하나, 전위는 상대적인 값이므로 실제 영전위는 존재하지 않는다. 하지만 무한히 먼 거리를 상정하여 영전위를 규정한다. -무한대를 사용하는 교재도 존재한다.)

이러한 적분 식은 일의 관점으로 생각했을 때 당연한 형태이다. 물체를 들어 올리기 위해 중력을 거스르도록 힘을 줘서 위치 에너지를 증가시키듯, 전위 역시 전계라는 힘을 거슬러 위치 에너지를 쌓는다. 즉 단위 전하를 옮기기 위해 필요한 일이 전위인 것이다. 

일 = 힘 X 거리이다. 전기력은 $\vec{F}=q\vec{E}$ 이고, 거리 당 받는 힘을 합산하기 위해 선적분을 취하면 다음과 같다. (보존장이므로 경로는 중요하지 않다.)
$$
\begin{aligned}
W = -q\int_{\mathcal{O}}^r \vec{E}\,d\vec{l}\\
\frac{W}{q} = V = -\int_{\mathcal{O}}^r \vec{E}\,d\vec{l}\,[J/C]
\end{aligned}
$$
이제 상대적인 전위차를 구해보자. 두 점 a와 b의 전위차는 다음과 같다. 
$$
\begin{align*}
V(b) - V(a) &= - (\int_{\mathcal{O}}^{b} \vec{E} \cdot d\vec{l} - \int_{\mathcal{O}}^{a} \vec{E} \cdot d\vec{l} ) \\[10pt]
&= - \int_{\mathcal{O}}^{b} \vec{E} \cdot d\vec{l} - \int_{a}^{\mathcal{O}} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \int_{a}^{b} \vec{E} \cdot d\vec{l}
\end{align*}
$$
이는 변화율의 관점으로도 나타낼 수 있다. 
$$
V(b) - V(a) = \int_{a}^{b} (\nabla V) \cdot d\vec{l}
$$
위의 두 식을 통합하면 다음과 같다.
$$
\int_{a}^{b} (\nabla V) \cdot d\vec{l} = - \int_{a}^{b} \vec{E} \cdot d\vec{l}
$$
우변을 좌변으로 넘긴다.
$$
\int_{a}^{b} (\nabla V + \vec{E}) \cdot d\vec{l} = 0
$$
이 식은 임의의 경로 a->b에 대해 항상 성립하므로, 피적분 함수는 0이어야 한다.
$$
\therefore \vec{E} = -\nabla V
$$
(벡터 항등식의 관점으로 생각할 수 있다. E의 회전이 0이라는 것은, E가 어떤 값의 그래디언트라는 것을 의미하기 때문이다.)

여기서 - 부호는 가장 처음에 정의 내린 적분식에서 기인한 것이다. 전위를 만들기 위해서는 어떤 전계의 힘을 거슬러서 외력이 일을 해주어야 하기 때문이다.

 

에너지 보존 법칙

 

위의 방정식은 전혀 새로운 식이 아니다. 전자기학 역시 고전역학의 범주 아래에 있기 때문이다. (아닌 부분도 있긴 하나, 적어도 여기선 다루지 않는다.)

그런 의미에서 조금은 친숙한 예시를 통해, 에너지 보존을 다룰 필요가 있다.

(닫힌 계를 가정, 에너지는 운동-포텐셜 에너지만 존재)

초록색 점선은 에너지의 총량이다. 퍼텐셜 에너지와 운동에너지의 합은 절대 총량을 초과하지 못한다.

공을 던져 최고점을 찍고 다시 떨어지기까지 전체 에너지는 항상 보존된다. 에너지는 변환될 뿐 총량 자체는 절대 늘거나 줄지 않는다. 즉 에너지 총량 $E$는 변화하지 않는다. 이를 이용하여 에너지 보존 법칙을 유도해 보자. 

 

$E = E_{k} + P$이다. ($E_{k}=운동에너지, P = 위치 에너지$)
$$\begin{aligned}
& \frac{d}{dt} (E_k + P) = 0 \\ \\
& \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 + P(x) \right) = 0 \\ \\
& \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}mv^2 \right) + \frac{d}{dt}\left( P(x) \right) = 0 \\ \\
& \left( \frac{1}{2}m \cdot 2v \cdot \frac{dv}{dt} \right) + \left( \frac{dP}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \right) = 0 \quad \text{ (연쇄 법칙 적용)} \\ \\
& \left( mv \cdot a \right) + \left( P' \cdot v \right) = 0 \quad \left( \text{여기서, } a = \frac{dv}{dt}, v = \frac{dx}{dt}, P' = \frac{dP}{dx} \right) \\ \\
& (ma)v + P'v = 0 \\ \\
& (F)v + P'v = 0 \quad (\text{뉴턴의 제 2법칙, } F = ma) \\ \\
& (F + P')v = 0 \\ \\
& \therefore \quad F = -P'
\end{aligned}$$
전계 E의 정의가 "단위 전하가 받는 전기적 힘"임을 고려했을 때, 전위에 대한 공식은 에너지 보존 법칙에 대한 공식과 다르지 않음을 알 수 있다. 이때 전위의 변화율은 그래디언트로 표현된다. (3차원이기 때문이다.)

1차원(공 던지기)에서는 단순한 높이 변화가 에너지를 의미했다. 하지만 3차원 공간은 다르다. 여기서는 단순히 높낮이가 아니라, 어떤 좌표에 '위치'해 있다는 사실 그 자체만으로 에너지가 결정된다.

공간상의 어느 방향으로 움직여도 에너지는 변할 수 있다. $x, y, z$ 모든 축이 에너지의 변화 통로가 되는 것이다. 그러므로 우리는 단일 미분이 아닌, 모든 방향의 변화율을 감지하는 델(Del, $\nabla$) 연산자를 사용해야 한다.

그래디언트의 정의에 따라, 전위가 힘으로 변환될 때의 방향은 등전위면을 기준으로 수직 해야 함을 알 수 있다. (전위는 스칼라 값이므로, 다른 위치에 있어도 같은 전위를 가질 수 있다. 같은 전위를 가지는 집합이 등전위면이다.)

이는 귀류법으로도 이해할 수 있다. 만약 수평한 방향으로 에너지가 변환된다면 이는 모순된다. 수평한 이동은 같은 전위를 가지는 등전위면으로 이동하는 것인데, 등전위면에서 위치 에너지가 변화한다는 것은 불가능하기 때문이다. 

 

푸아송, 라플라스 방정식

 

공리 2를 통해 이끌어낸 전위 식, 공리 1을 나열하겠다.
$$
\vec{E} = -\nabla V
$$
$$
\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho_{v}}{\epsilon_{0}}
$$
위의 식을 아래에 대입해 보자. 
$$
\nabla \cdot (-\nabla V) = \frac{\rho_{v}}{\epsilon_{0}}
$$
이 연산은 다음과 같이 정의된다.
$$
\nabla^2 V = -\frac{\rho_{v}}{\epsilon_{0}}
$$
(부호를 우변으로 넘겼다.)

이것이 푸아송 방정식이다. $\rho_{v}=0$으로, 전하가 없는 상황을 가정할 때, 이를 라플라스 방정식이라 한다.
$$
\nabla^2 V = 0
$$
푸아송 방정식은 전계를 경유하지 않고, 전하 밀도를 통해 전위를 구할 수 있도록 하는 유용한 방정식이다. (반복컨대, 스칼라 값인 전위가 훨씬 유용하기 때문이다. 이는 추후에 더 자세히 다룬다.)

+
전위 도입의 효용성: 실제 공학적 문제, 특히 경계치 문제(Boundary Value Problem)를 풀 때 전위의 강력함이 드러난다. 
1. 스칼라 연산: 벡터 분해 없이 스칼라의 덧셈만으로 중첩을 계산할 수 있다. 
2. 경계 조건 활용: 복잡한 전하 분포($\rho$)를 몰라도, 도체 표면과 같은 등전위면의 전압 값만 알면 라플라스 방정식을 통해 공간 전체의 해석이 가능하다.