[전자기학] 회전 (Curl)

David K. Cheng의 Field and Wave

H. M. Schey의 Div, Grad, Curl, and all that

의 맥락을 참고하였음

 

회전(Curl)은 발산(Divergence)과 마찬가지로 특수한 벡터 흐름 중 하나이다. 이는 이름에서 알 수 있듯이, 말 그대로 회전하는 물리 현상을 나타내기에 유용한 도구이다.

 

회전은 발산과 마찬가지로 그래디언트와 깊은 연관을 가지고 있고, 이를 외적과 잘 연결하면 그리 어렵지 않게 이해할 수 있을 것이다. 하지만 이를 바로 설명하지 않고, 우선은 발산 때와 마찬가지로 적분에 대해 다루어야 한다. 발산에서는 이를 플럭스와 면적분을 통해 다루었지만 이번엔 선적분을 다루고자 한다.

선적분

아주 간단하게 생각해 보자. 선적분이 무엇일까? 그냥 선 길이만큼 적분하는 걸까? 아주 틀린 소리는 아니지만, 너무 많은 내용이 빠져있다. 그럼 무엇이 핵심인가? 

 

예를 들어보자. 일 = 힘 x 변위 를 통해서 정의된다.

 

이때 힘도, 변위도 모두 벡터다. 이 경우 어떤 변위(곡선 혹은 경로)를 따라 힘을 준다면, 실질적으로 일에 기여하는 힘은 그 경로의 접선 성분 방향의 힘만이 유효하다. 한 마디로 곡선 방향과 힘의 방향이 일치하는 경우밖에 없다는 것이다. (이는 일의 정의에 따른 것이다.)

 

그렇다면 이제 $S_1$부터 $S_2$까지의 일을 구해보자. 경로에 작용하는 모든 힘들을, 그중에서도 접선 방향의 힘들만을 전부 합산하면 일을 구할 수 있을 것이다. 이를 수학적으로 표현하면 아래와 같다.

 

$$
W = \int_{C} \vec{f}(x, y, z) \cdot \hat{\mathbf{t}} \, dl,
$$

 

$\vec{f}(x, y, z)$는 경로에서 작용한 힘이다. 이것이 접선 방향 벡터($\hat{\mathbf{t}}$)와 내적 되어 있는 것을 선적분한다. 이 역시 내적의 정의를 통해 쉽게 이해할 수 있다. 힘의 방향과 접선 방향의 유사성을 따지면서, 이를 경로 전체에서 수행하겠다는 의미로 해석된다.

 

결국 이러한 예시가 알려주는 것은, 선적분이 단순히 길이만 구하는 적분이 아니라는 것이다. 어떤 경로에 존재하는 물리량들을 전부 합산하기 위해 사용되는 것이고, 이는 위의 경우처럼 접선 성분의 물리량만 합산하는 방식으로도 사용될 수 있다.

 

이를 조금 달리 말하면 "경로 방향으로 얼마나 기여했는가?"를 따지는 도구라고 볼 수도 있겠다. 이는 면적분과 매우 유사하다. 면적분은 면적을 통과하는 물리량을 플럭스라는 것을 통해 검출했다면, 선적분은 어떤 벡터(물리량)가 얼마나 경로에 기여하는지를 따진다.

 

(물론 항상 그러란 법은 없고, 이건 선적분의 일반적인 정의라고 보긴 어렵다. 근데 적어도 전자기학에서는 이 용도로 많이 쓰인다.)

 

그런데 여기서 좀 이상한 경우가 하나 있다. 분명 경로와 얼마나 일치하는지 여부를 따지는 게 핵심이라고 했는데, 경로에 무관한 성질을 띠는 때가 있다. 이게 말이 될까? 특정한 상황에선 말이 된다. 좀 더 나아가보자.

보존장

 

다음의 그림을 보자. $P_1$에서 $P_2$까지의 경로가 $C_1, C_2$로 두 가지가 존재한다. 여기서 $C_1, C_2$ 경로의 길이는 다르다고 가정하겠다. 이제 이 경로에 대해 한 바퀴 전체를 선적분해보자. 수식으로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있을 것 같다.

 

$$
\oint_{C} \vec{F} \cdot \hat{\mathbf{t}} \, dl = \int_{C_1} \vec{F} \cdot \hat{\mathbf{t}} \, dl - \int_{C_2} \vec{F} \cdot \hat{\mathbf{t}} \, dl
$$

 

"경로에 무관하다"는 말이 무엇인가? 어느 한 경로는 매우 짧고, 어느 한 경로는 매우 길게 설정해도 둘의 선적분 값은 동일하다는 것이다. 이 말은 $C_1$에 대한 선적분, $C_2$에 대한 선적분이 '항상' 같다는 뜻이기도 하다. 이 조건을 위의 수식에 적용한다면 식은 다음과 같이 단순화된다.

 

(경로에 무관하다면 이 둘의 경로는 선적분 값이 같다.)

 

$$
\oint_{C} \vec{F} \cdot \hat{\mathbf{t}} \, dl = 0
$$

 

이것이 바로 경로 독립성(무관성)의 조건이다. 어떤 폐경로 적분의 값이 0이 되면, 우리는 이를 경로와 독립하다고 본다. 이런 양상이 모든 공간 내에서 나타난다면, 그 공간 전체가 경로에 무관한 것이고 이를 보존장(Conservative Field)이라 한다.

 

그런데 이게 뭔 의미가 있는가? 그냥 억지 가정을 두고, 수학으로 끼워 맞춘 게 아닌가? 하는 생각을 할 수 있다. 하지만 보존장은 매우 중요한 함의를 담고 있다.

 

보존장의 특성을 한 마디로 요약하면 뭔가? 경로 독립성이다. 경로에 독립한다는 것은 어떤 지점과 지점 사이의 거리만 중요하고, 그 중간은 전혀 중요하지 않다는 뜻이기도 하다. 이런 경우는 생각보다 많은 물리 현상에서 나타나지만, 전자기학에서 나오는 현상만을 예로 들겠다. 쿨롱의 법칙을 생각해보자.

 

$$
\vec{F} = \hat{R} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qq_0}{r^2}
$$

 

계수는 볼 필요가 없다. 지금 관심사는 분모에 존재하는 $r$, 분자에 존재하는 $q$이다. 이 수식에서 $q$의 값을 고정시켜둔다면, 힘을 최대로 만들 수 있는 방법은 무엇인가? 당연히 거리 $r$을 줄이는 것이다. 최소한의 힘을 만들려면 거리 $r$을 최대한으로 늘리면 된다.

 

하지만 여기서 중요한 것은 이런 비례 관계가 아니다. 중요한 건 쿨롱 힘이 '거리'에만 의존한다는 것이다. 두 전하 사이의 경로 같은 것은 계산에 고려되지도 않을뿐더러, 고려한들 아무런 차이를 주지 않는다.

 

거리에 대한 의존성은 달리 말하면, 거리가 결정되면 힘도 결정됨을 의미한다. 그러니까 같은 거리에 위치한 전하들이 어떤 기준 전하로부터 받는 힘은 모두 같다는 것이다. 달리 말해 장 어딘가에 전하가 위치하는 순간, 이미 그 위치에서의 값이 정해져 있다는 것과도 같다.

 

이를 세련되게 얘기하면, 위치하는 순간 결정되는 어떤 잠재적 에너지 내지 위치 에너지가 존재한다고 얘기할 수 있다. 이 개념은 추후에 다룰 전위(Potential)에서 요긴하게 쓰일 것이다. (여기서 같은 거리끼리 묶어놓은 게 결국 등고선이고, 이는 전위에서 매우 큰 역할을 할 것이다.)

 

그런데 항상 벡터장이 보존장이라 할 수 있는 보장은 전혀 없다. 폐경로 적분이 0이 아닌 경우가 (당연히) 있을 수 있기 때문이다. 이 경우가 바로 회전(Curl)이다. 보존장이라는 개념과 아무런 연관도 없어 보이는데, 어떻게 연결될까? 좀 더 나아가보자.

회전 (선적분의 관점)

발산처럼 공식으로 시작하겠다.

 

$$
\text{curl } \vec{A} \equiv \nabla \times \vec{A} \triangleq \lim_{\Delta s \to 0} \frac{1}{\Delta s} \left[ \hat{n} \oint_{C} \vec{A} \cdot d\vec{l} \right]_{\max}
$$

 

이 식 역시 해체해 보자. 우변을 살펴보겠다.

 

먼저, 이 공식의 구조에서 발산과 다른 점부터 살펴보자. 회전의 결과가 방향을 포함하고 있다는 부분에서 차이가 있다. 어떤 수직 방향($\hat{n}$)이 나타나 있는데, 이는 회전 축의 방향이다. 외적에서 그랬듯, 이는 폐곡선으로 둘러싸인 면적이 비스듬히 존재할 수도 있기에, 이 면적의 방향을 가리키는 기준이 필요하여 붙은 방향이다.

 

그 외의 요소들이 만드는 구조 자체는 흡사하다.

• lim: 발산 때와 마찬가지로 미소 단위를 상정하기 위함이다.
• 적분 내부: 경로의 방향과 벡터 $\vec{A}$를 내적 하였다. 이 말인즉슨, 벡터와 경로 사이의 유사성을 따지겠다는 의미이다.
• 폐경로 적분: 이를 경로 전체에 대해 선적분 하였다. 지금은 폐경로를 가정했으므로 폐경로 적분이 이루어졌다.

이러한 선적분이 어떤 물리적 함의를 갖는지는 이미 앞서 설명하였지만, 회전 자체를 보이기 위해 간단한 예시를 들고 와 설명하겠다. 폐경로를 정사각형 경로라고 상정해 보자. 그리고 "언제 가장 회전의 값이 커질지"를 생각해 보는 것이다.

 

 

회전축이 고정된 채 위 그림과 같은 정사각형 바람개비가 존재한다고 생각하면, 직관적으로 생각해 볼 때 언제 가장 회전의 속도가 빠를까?

 

이 역시 반대로 생각하면 편하다. 아예 회전을 못 하게 하려면, 모든 방향에서 경로와 수직 한 바람을 불면 된다. 그렇다면 최대 회전은 반대로, 바람을 모든 경로와 평행하게 불 때 나타날 것이다. 바람을 벡터로 치환하면, 위의 식에 꽤 잘 부합하는 직관인 듯하다.

 

(십자로 생긴 바람개비를 상정하면 아예 반대일 것이다.)

 결국 우린 회전을 따지기 위해서는, "경로와 얼마나 평행한 힘이 작용하는지"를 알고, 이를 모두 합산하기만 하면 되는 것이다.

 

이런 관점에서 위의 식은 더 이상 낯설지 않고 매우 당연하게 받아들여진다. 그런데 회전은 위의 식으로만 정의되는 것은 아니다. 중간에 위치한 식을 보면 알 수 있듯, 벡터와 델 연산자의 외적으로도 정의된다. 이를 분석하기 위해 좀 더 나아가보자.

회전 (그래디언트의 관점)

우선 구조 자체는 마찬가지로 발산과 유사하다. 델 연산자가 존재하므로, 역시 변화율의 관점을 통해 식을 해체해 보자.

 

$$
\nabla \times \vec{A} = 
\begin{vmatrix}
\hat{a}_x & \hat{a}_y & \hat{a}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_x & A_y & A_z
\end{vmatrix}
= \hat{x} \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) + \hat{y} \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) + \hat{z} \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)
$$

 

이번에는 델 연산자와 벡터를 외적 하였다. 델 연산자는 변화율을, 외적은 두 벡터의 수직성을 따진다고 생각하면 위의 식이 의미하는 바는 다음과 같다.

"벡터 $\vec{A}$의 변화율이 벡터 $\vec{A}$와 비교했을 때, 얼마나 수직한가?"

 

역시 주의해야 할 점은 변화 자체가 아닌, 변화율과의 비교라는 점이다. 이러한 경향성에 대한 부분은 발산에서 자세히 설명하였으므로 생략하겠다.

 

그보다 좀 더 중점적으로 봐야 할 부분은 외적으로 인해 나타나는 행렬식이다. 이는 단순히 외적 공식에 델 연산자의 성분과 벡터 $\vec{A}$의 성분을 대입한 결과라고 받아들일 수 있다. 하지만 정말 단순히 그런 의미만 가지고 있을까?

 

절대 그렇지 않다. 수학을 통해, 회전의 식이 저런 형태로 도출될 수밖에 없음을 확인해 보자.

 

 

다음과 같은 폐경로를 4개의 경로로 쪼갠 뒤, 하나하나 계산해 보겠다.

$$
\int_{C_B} \vec{F} \cdot \hat{t} \, dl = \int_{C_B} F_x \, dx \simeq F_x \left( x, y - \frac{\Delta y}{2}, z \right) \Delta x
$$

우선 C_B의 선적분을 수행했다. 변의 길이가 Delta x이므로 선적분은 우변처럼 근사 가능하다. 

$$
\int_{C_T} \vec{F} \cdot \hat{t} \, dl = \int_{C_T} F_x \, dx \simeq -F_x \left( x, y + \frac{\Delta y}{2}, z \right) \Delta x
$$

C_T의 선적분도 동일하게 수행했다. 이 경우 부호는 반대인데, 진행 방향이 반대이기 때문이다. 위의 두 식을 합해보자.

$$
\begin{align*}
\int_{C_T + C_B} (\mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{t}}) \, dl 
&\simeq -\left[ F_x \left(x, y + \frac{\Delta y}{2}, z \right) - F_x \left(x, y - \frac{\Delta y}{2}, z \right) \right] \Delta x \\
&\simeq - \frac{F_x \left(x, y + \frac{\Delta y}{2}, z \right) - F_x \left(x, y - \frac{\Delta y}{2}, z \right)}{\Delta y} \Delta x \Delta y
\end{align*}
$$

분모에 Delta y를 추가하는 약간의 대수조작이 필요하다. 이는 Delta x 와 Delta y의 곱 형태를 유도하기 위함이다. 이 곱은 사각형의 면적과도 같다. 이를 Delta S라 하고 양변을 나누자.

$$
\frac{1}{\Delta S} \int_{C_T + C_B} (\mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{t}}) \, dl 
\simeq - \frac{F_x \left(x, y + \frac{\Delta y}{2}, z \right) - F_x \left(x, y - \frac{\Delta y}{2}, z \right)}{\Delta y}
$$

이 과정을 좌, 우측 경로에 동일하게 적용하면 다음과 같은 식이 나온다.

$$
\begin{align*}
\frac{1}{\Delta S}\int_{C_L + C_R} (\mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{t}}) \, dl 
&\simeq \frac{F_y \left(x + \frac{\Delta x}{2}, y, z \right) - F_y \left(x - \frac{\Delta x}{2}, y, z \right)}{\Delta x}
\end{align*}
$$

이제 위의 두 식을 합치면 모든 폐경로에 대한 선적분을 구한 것이나 마찬가지다. 두 식을 더한 뒤 바로 Delta S가 줄어드는 극한을 취하겠다. (이때 중심을 향해 줄어든다.)

$$
\lim_{\Delta S \to 0} \frac{1}{\Delta S} \oint \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{t}} \, dl = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
$$

매우 익숙한 식이 튀어나왔다. Delta S가 0으로 다가감에 따라, Delta x, Delta y도 0으로 다가간다. (넓이가 줄어드니, 각 변도 줄어드는 것이다). 결국 이를 위의 식에 적용하면 자연스레 편미분 꼴이 나타나는 것이다. 

 

이 식은 행렬식의 $z$ 성분임을 어렵지 않게 파악할 수 있다. 현재는 $xy$평면에 대한 적분만 수행했기에 하나의 성분만 나왔지만, 나머지 평면에 대해 모두 계산하면 위의 행렬식과 같은 식이 유도될 것이다.

 

이러한 단순 적분을 통해서 실제 델 연산자의 외적과 폐경로 선적분 자체는 사실 일치할 수밖에 없음을 파악할 수 있었다.

그런데 여기서도 마찬가지로 그런 의문이 든다.

 

"내가 임의의 크기를 가지는 폐곡선을 상정했을 때, 그 내부의 모든 회전을 모두 파악해서 일일이 더해야 하는가?"

 

이 역시 전혀 그럴 필요가 없다. 이를 알아보기 위해 좀 더 나아가보자.

스토크스 정리

먼저 임의의 폐곡선을 가정하겠다. 아래와 같은 형태를 띨 것이다.

 

 

그 곡선 내부의 면적을 $S$, 폐곡선 자체를 $L$이라 정의한다. 현재 그림에는 나타나 있지 않지만, 폐곡선은 어떤 회전하는 벡터장 위에 놓여 있다. 이를 다른 그림으로 확인해 보자.

 

 

이 그림에서 가장 오해하기 쉬운 지점은 "실제 폐곡선 내부에 저런 수많은 벡터들이 회전하는 형태로 나타나고 있는 건가?" 하는 부분이다.

 

이는 실제 벡터의 방향을 나타낸 게 절대 아니다. 저건 벡터에 의해 격자에서 나타나는 회전이다. 정확히는 저 사각형 격자의 각 변에서 계산되는 회전을 간략하게 나타낸 것이다. 실제 벡터는 꼭 원을 그리며 회전할 필요는 없다.

 

이를 좀 쉽게 생각하면 다음과 같다.

• 벡터 = 바람
• 내부의 화살표 = 수많은 바람개비들의 회전

이때 내부에서 나타나는 회전은 발산에서와 마찬가지로 상쇄된다. 인접한 경로에서 벡터는 그대로지만, 적분의 방향이 서로 정반대가 되어 그 값은 상쇄된다. (이 부분의 논리는 발산 포스팅을 참고하라).

 

그러니까 격자들끼리 맞닿은 부분에서 회전은 0이 된다는 것이다. 결국 남는 것은 외부 경계에서의 회전밖에 없다.

 

이것만 모두 합하면, 우리가 원하는 임의의 폐곡면에서 회전을 매우 쉽게 구할 수 있을 것이다.

 

 

(이때 재밌는 점은 굳이 폐곡선의 면적이 평면이지 않아도, 이 법칙은 항상 성립한다는 점이다.)

 

그렇다면 이제 이 고찰이 수식과 일치하는지를 확인해 보겠다.

 

$$ \int_{S} (\vec{\nabla} \times \vec{A}) \cdot d\vec{s} = \oint_{C} \vec{A} \cdot d\vec{\ell} $$

 

마지막으로, 이 식에 대한 정의를 인용하고 마치겠다.

"이것은 개표면(open surface)에 대한 벡터계의 회전의 면적분은 그 표면의 경계 경로를 따라 벡터의 폐경로적분과 같다는 것을 의미한다."

 

+

이제 내적, 외적, 발산, 회전 등의 기본적인 벡터 미분적분학의 도구들을 모두 다루었다. 본래 좌표계와 영 항등식을 다루는 것이 정석적이지만 이는 제외한다. (연산이 너무 많아서). 이제부터는 이 도구들로 실제 전하의 현상들을 어떻게 정립할지 다룰 것이다. 좀 더 나아가보자.