[전자기학] 도체 (Conductor)

도체는 5가지의 중요한 성질을 담고 있다. 이를 중심으로 도체 특성을 알아보자.

1. 도체 속에서는 $E = 0$이다.
2. 도체 속에서는 $\rho = 0$이다.
3. 알짜 전하는 표면에만 있다.
4. 도체 속에서는 전위가 똑같다. 
5. 도체 바로 밖의 $\vec{E}$는 표면에 수직이다.

 

도체는 자유 전자로 구성되어 있다. 좀 더 엄밀하게는 이동 가능한 자유 전자들과, 이동 불가능한 양전하들로 이루어져 있다. 만약 외부 전계가 도체 내부에 작용한다면, 자유 전자들은 이동할 수 있다. 이때 이 이동을 개별 입자의 이동이 아닌, '자유 전자 기체'의 미세 변위로 해석해야 한다.

도체 내부의 전하 이동 과정을 이해할 떄, 전자가 개별적으로 이동하는 이미지를 상상하면 이해하기 어렵다. 그 대신, 양전하로 이루어진 부피(균일한 양전하 배경(uniform background of positive charge))에 전자로 이루어진 부피(자유 전자 기체(Free Electron Gas))가 중첩된 상태로 생각해야 한다.

전계가 인가되기 전 도체는 전기적으로 중성이다. 양전하 배경과 자유 전자 기체는 완전히 겹쳐져 있으므로 내부의 전하 밀도는 0이 된다.

도체에 외부 전계가 인가되는 순간, 자유 전자 기체 전체가 약간 이동한다. 여전히 대부분의 영역은 중첩된 상태(중성)일 것이다. 하지만 한쪽 표면은 전자가 부족할 것이고, 한쪽 표면은 전자가 과잉일 것이다. 이러한 모델은 자유 전자 기체 모델(Free Electron Gas Model)이라 불리고, 이는 도체 내부가 중성으로 유지되는 물리적 직관을 제공한다. 

(수학적으로도 증명 가능하다. 전기적 평형을 이룬다고 가정했을 때, 내부에 가우스 법칙을 적용하면 항상 0이 나온다.)

이러한 자유 전자 기체 모델은 곡률에 대한 해석도 가능케 한다. 어떤 유체가 존재할 때, 움푹 파인 곳의 유체 밀도는 평평한 곳의 밀도보다 더 높다. (그리로 유체가 고이니까). 그런데 전자 기체는 서로 밀어내려는 척력을 가진다. 하지만 이 점을 고려해도 결과는 같다.

균일하지 않은 모양의 도체에서 전자는 곡률이 큰 곳으로 집중된다.

 

1. 볼록한 곳(Convex): 척력은 표면의 접선 방향으로만 유효한 힘을 제공한다. 수직 방향으로 힘이 작용해도 표면을 빠져나가지 못하기에 무의미 하다. (도체가 변형될 수 있다면 유의미할 수 있겠으나 그런 건 고려 안 한다). 곡률이 크다는 것은 곧 접선 방향의 힘이 작용할 공간이 적음을 의미한다. 즉 척력의 영향이 상대적으로 적게 작용하고, 더 많은 전하가 밀집될 수 있다. 
2. 평평한 곳(Flat): 곡률이 적기 때문에, 접선 방향으로 전하가 줄지어 있을 수 있고 척력이 상대적으로 크게 작용할 수 있다. 이로인해 전하는 서로 밀어내어 밀집되기 어려우므로, 전하의 밀도는 비교적 작다.

그런데 표면에 몰린 전자들은 서로 척력을 가진다. 어떻게 평형 상태를 유지하고 있을까?

(표면에 몰린 전자는 그림과 같이 분포한다. 초승달 모양인데, 이는 $cos \theta$ 분포를 띤다. 이때 각도 $\theta$는 표면의 법선 벡터와 외부 전계 사이의 각도이다.)

직관적으로는 외부 전계가 전자를 미는 힘과 내부 전자끼리의 척력이 서로 평형을 이루기 때문이라고 유추할 수 있다. 이를 수학적으로 증명해보자. 

평형을 이루기 위해서 외부의 일정한 힘(Constant)과 내부 전자들의 척력의 합이 0이 되어야 한다.

$$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{0} + \vec{E}_{ind} = 0$$

($\vec{F}=q\vec{E}$이므로 전계의 합이 0이면, 힘의 합도 0이다.)

이제 내부 전하들이 만드는 전계 $\vec{E}_{ind}$를 구해보자. 현재 우리는 양전하 배경($+\rho$)과 자유 전자 기체($-\rho$)가 서로 $\vec{d}$만큼 어긋나 있는 두 구의 중첩 모델을 가정하고 있다.

가우스 법칙에 의해, 균일하게 대전된 구 내부의 전기장은 다음과 같다. 
($\vec{r}$ 는 양전하 배경의 중심과 임의의 점 P까지의 거리, $\vec{r}'$는 자유 전자 기체의 중심과 임의의 점 P까지의 거리이다.)

$$\vec{E} = \frac{\rho}{3\epsilon_0}\vec{r}$$

임의의 지점 P에서 중첩된 전계는 다음과 같다.

$$
\begin{aligned}
& \ \vec{E}_{ind} = \vec{E}_{+} + \vec{E}_{-}\\ \\
& \ \vec{E}_{ind} = \frac{\rho}{3\epsilon_0}\vec{r} + \frac{-\rho}{3\epsilon_0}\vec{r}'\\ \\
& \ \vec{E}_{ind} = \frac{\rho}{3\epsilon_0}(\vec{r} - \vec{r}')
\end{aligned}
$$
여기서 $\vec{r} - \vec{r}'$는 두 구의 중심 사이의 거리 벡터이고, 이를 $\vec{d}$라 하겠다. 중심 변위 벡터 $\vec{d}$는 말 그대로 두 구체의 중심이 얼마나 어긋났는지를 보여주는 벡터 값이다. 
$$\vec{E}_{ind} = \frac{\rho \vec{d}}{3\epsilon_0}$$
위의 식은 어떤 구체의 중심으로부터 얼마나 떨어졌는지가 중요한 것이 아니라, 두 구체의 중심이 얼마나 틀어졌는지가 중요함을 보여준다.

1. 전계의 균일성: 유도된 내부 전계(척력)는 위치 $\vec{r}$에 의존하지 않는 일정한 상수 벡터이다.
2. 평형의 가능성: 전하의 표면 분포 자체는 불균일(코사인 분포) 하나, 그들이 만드는 척력은 내부 어디서나 균일하다.
3. 결론: 내부 척력이 균일하기 때문에, 마찬가지로 균일한 외부 전계($\vec{E}_0$)와 1:1로 맞대응하여 도체 내부 모든 곳에서 완벽한 평형을 이룰 수 있다.

(만약 척력이 위치에 따라 달라지는 불균일한 힘이었다면, 상수의 힘을 가진 외부 전계와는 결코 평형을 이루지 못했을 것이다.)

평형을 이루기까지 전자는 계속해서 이동할 것이다. (외부 전계가 고정되어 있고, 내부 전계 식에서 d가 바뀌면서 점점 외부 전계와 같아지는 과정이다). 이 과정에서 표면에 몰려있는 전하들은 전계를 만든다. 내부 전계의 방향은 외부 전계와 반대이고, 둘의 크기가 같아져 힘이 상쇄되는 순간이 바로 평형을 이루는 순간이다.

극단적인 변위를 가정하였다.

도체 내부가 정적 평형 상태에 도달했음은 곧 내부의 전계가 모두 상쇄되어 0이 됨을 의미한다. 이는 곧 도체 내부의 모든 영역에서 전위가 같음을 의미한다.
$$
\vec{E} = -\nabla V = 0
$$
위의 식은 곧 전위의 변화가 존재하지 않음을 의미하고, 이는 전위가 도체 내부에서 항상 일정함(Constant)을 보여준다.

이러한 평형상태에서, 표면에 위치한 전하가 만드는 전계는 항상 표면과 수직 한다. (전하 사이에서 나타나는 전기장을 제외한 나머지 발산하는 전계들). 표면에 수직 한 힘만 작용해야만, 법선 방향으로 이동하지 않을 수 있고, 그래야만 평형 상태라 부를 수 있다. 

이 역시 증명이 간단하다. 우선 도체 경계면에 작은 폐곡선을 가정한다. 폐곡선의 높이 $\Delta h$를 0으로 보내면, 폭 $\Delta w$만 남는다. 폭에 가해지는 전계는 곧 전계의 접선 성분이다. 도체 내부의 전계는 0이므로, 접선 성분의 전계는 존재하지 않게 된다.
$$
\oint_{abcda} \vec{E} \cdot d \vec{l} = E_{t} \Delta w = 0 
$$
그렇다면 전계의 수직 성분 또한 알 수 있을까? 가우스 법칙을 사용하면 알 수 있다. 도체 표면에 도체 내부와 외부에 걸쳐진 작은 폐곡면(pillbox)을 상정한다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.
$$
\oint_{s} \vec{E} \cdot d \vec{s} = E_{n} \Delta s = \rho_{s} \Delta s / \epsilon_{0}
$$
접선 성분은 존재하지 않으니 법선 성분과 Pillbox의 윗면(아랫면)의 넓이가 곱해진다. 이때 전계의 원천 역시 Pillbox의 윗면(아랫면) 넓이에 분포한 전하가 만드는 만큼만 존재하므로 우변에도 넓이 $\Delta s$가 곱해진다. 위의 식을 정리하면 아래와 같다.
$$
E_{n} = \rho_{s}/\epsilon_{0}
$$
첫 번째 공리와 유사한 형태인데, 발산이 없다. 즉 사방으로 뻗어나가지 못하고 (접선 방향의 전계가 존재하지 않으므로), 법선 방향에서만 모든 전계가 나타남을 알 수 있다. 무한 면전하에서의 전계와도 유사한 형태인데 크기가 2배이다. 이는 해당 표면 전하가 만드는 전계($\sigma/2\epsilon_0$)와 나머지 전하들이 만드는 배경 전계($\sigma/2\epsilon_0$)가 외부에서는 같은 방향으로 합쳐지기 때문이다. (내부에서는 이 둘이 상쇄되어 0이 된다).